一道中学数学题

群群

在一个平面内有三个互不相交的等圆A,B,C. 每个圆上各取一点，即a,b,c。问怎么取这三个点才能使角abc(b是角的顶点)最大或最小？

chinesesongs

原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-19 17:39 发表


你先看看之前，我给出的解法。主要思路是要找出一个大圆，它经过三个圆圆心。
按照你画三角形的或者大角对大边的说法，只要找到圆心o，就可以找到了对应于最大角或者最小角的顶点b了，对应于o点的距离最大 ...

我现在也对正确答案是什么有些怀疑了

你这个答案哈，说说我的想法：1“只要找到最小角，那么它的补角就是最大角了”，但最小角的补角并不一定也同时经过三个圆呀；2还是没明白你究竟为什么说自己找到的角就是最小角。“对应于o点的距离最大为R＋r，最小为R-r”，so what？然后呢,zai gei duo jiangjiang

omg, turan buneng xie zhongwen le...

亨利八世

德国中学 有这么 变态的题 ?

dongfeng71

众牛人牛解万岁！  

看来还真是集思广益啊。 研讨氛围鼓舞大家循序渐进 、步步登高！

everest

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-19 13:48 发表
然后的问题是顶点该选在那个圆的什么位置。首先在另外两个圆对着顶点所在圆的那一侧做切线（这个切线在等圆的条件下其实就是圆心连线的平行线）。然后在顶点所在圆的外侧和内侧分别做下面两个圆外切线的平行线， ...

同意，这样说简单点，过两个圆心做直线，再过另一个圆做与此直线平行的切线，外切点为最小角顶点，内切点为最大角之顶点，从两顶点做与另外两个圆的切线，既得最大最小角。

Klein_Yu

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-19 14:23 发表
这么客气

说说你的证明

你先看看之前，我给出的解法。主要思路是要找出一个大圆，它经过三个圆圆心。
按照你画三角形的或者大角对大边的说法，只要找到圆心o，就可以找到了对应于最大角或者最小角的顶点b了，对应于o点的距离最大为R＋r，最小为R-r。
然后做切线，就得到了答案。

不过，你的答案解法有点麻烦哦。不过，估计结果是一样的。切线做得多，有点晕哦！
你说呢？

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-19 17:44 编辑 ]

chinesesongs

原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-18 19:37 发表



不好意思，我承认我之前的解法有点问题。不过，麻烦你看看我之前修改的解法。

我的思路主要是要先确定下圆B上的b点。因为，三个圆是等圆的关系，所以先通过三个圆心找到一个大圆的圆心，作大圆。然后交 ...

这么客气

说说你的证明

chinesesongs

答案的道理来了 。。。

以找最大角为例，在顶点所在圆上任取答案中两切点之外的任一点a，分别做另外个圆的外切线ab和ac，则该角bac的两条边中至少有一条（只有一条的情况是另一边切于此圆）必然会跟顶点所在圆有第二个焦点，比如说ac就跟顶点所在圆相交于第二点d，从d点向左下的圆做切线de，显然现在重新得出的角edc，比原来的角bac大，从而bac肯定不是最大角！

（“显然”？你要是真不同意这是显然的事儿，那我就再罗索两句：线段adc不动，从射线ab开始顺时针转向移动，达到新的射线de,你说这个角度不是必然变大是什么？或者干脆更“傻解释”一下，从a点作de的平行线，这个平行线与ac形成的角必然大于角bac吧，而这个角度正是新角edc呀，哈哈）

同理，新角edc如果不是大案中提到的切点，则一样会有至少一条边必然跟顶点所在圆有第二个焦点，比如de交顶点所在圆于另一点g，则显然新新角egf比“新角”edc又大了。。。依此类推，一步一步新角越来越大，什么时候达到最值呢？角的两条边都分别不再与顶点所在圆有第二个交点的时候！也就是答案中所提到的切点！:naughty:

[ 本帖最后由 chinesesongs 于 2006-12-19 14:14 编辑 ]

chinesesongs

然后的问题是顶点该选在那个圆的什么位置。首先在另外两个圆对着顶点所在圆的那一侧做切线（这个切线在等圆的条件下其实就是圆心连线的平行线）。然后在顶点所在圆的外侧和内侧分别做下面两个圆外切线的平行线，并且分别各自切此圆于内外两侧。这内外两个切点就分别是我们要找的角的顶点了。答案得出

不过别急，问题是你怎么知道这两个点引出的切线所组成的角就是极值？嘿嘿，没错儿，证明起来还是有点儿小意思的

ps:注意哟，角的两边是另两个圆的切线呀，这个就跟什么圆心连线啥的没任何关系了。

chinesesongs

思路基本上就是我昨天说的那个。首先必须明确一点的是大边对大角，这是第一步的一个条件。。。而已！。。。

简单说最大角必然是下面第一个图的形式，最小角必然是第二个图的形式，其中的射线都是切线，这个我上面也已经讲过了，不再赘述。关键是顶点应该在哪个圆上。第三个图说明了确定的方法，每两个圆外侧做切线，组成个三角形，其中，最大边对应的角就是能做出题目要求最大角的那个圆了。

不过我实在没看出有什么必要非得先确定大边，既然边的长短能够比较，为什么不直接比较角的大小，莫非有只能尺规作图的条件限制，那样就比较说得通了，而且也符合三个等圆这个条件，因为等圆下圆心连线就是两圆的外切线（二者是平行的），这样讲起来题目强调是等圆还算有一定意义。