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小整理：MATLAB基本绘图函数

plot: x轴和y轴均为线性刻度（Linear scale）

loglog: x轴和y轴均为对数刻度（Logarithmic scale）

semilogx: x轴为对数刻度，y轴为线性刻度

semilogy: x轴为线性刻度，y轴为对数刻度   

若要画出多条曲线，只需将座标对依次放入plot函数即可：   

plot(x, sin(x), x, cos(x));

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MATLAB不但擅长於矩阵相关的数值运算，也适合用在各种科学目视表示（Scientific visualization）。

    本节将介绍MATLAB基本xy平面及xyz空间的各项绘图命令，包含一维曲线及二维曲面的绘制、列印及存档。   

    plot是绘制一维曲线的基本函数，但在使用此函数之前，我们需先定义曲线上每一点的x 及y座标。

下例可画出一条正弦曲线：   

close all;

x=linspace(0, 2*pi, 100); % 100个点的x座标   

y=sin(x); % 对应的y座标   

plot(x,y);

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>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根   

r = 2.0946   

>> p=[1 0 -2 -5]   

>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证   

r =   

2.0946   

-1.0473 + 1.1359i   

-1.0473 - 1.1359i   

2．5线性代数方程（组）求解

    我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下   

     AX=B   

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项  

要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除  做运算，即是 X=AB。   

    如果将原方程式改写成 XA=B  

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项  

    注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。   

    若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。   

    我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法：   

>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入   

>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置   

>> X=AB % 先以左除运算求解   

X = % 注意X为行向量   

-2   

5   

6   

>> C=A*X % 验算解是否正确   

C = % C=B   



10   

5   

-1  

>> A=A'; % 将A先做转置   

>> B=[10 5 -1];   

>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同   

X = % 注意X为列向量   

10  5  -1   

>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解

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2．1微分  

diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：   

diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值   

diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值   

diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值   

diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值   

    数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。   

    先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项：   

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   

>>S2 = 'sin(a)';   

>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';   

>>diff(S1)   

ans=18*x^2-8*x+b   

>>diff(S1,2)   

ans= 36*x-8   

>>diff(S1,'b')   

ans= x   

>>diff(S2)   

ans=   

cos(a)   

>>diff(S3)   

ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3   

>>simplify(diff(S3))   

ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2  

2．2积分  

int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积

分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个：   

int(f) 传回f对预设独立变数的积分值   

int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值   

int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式   

int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式   

int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式   

我们示范几个例子：   

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   

>>S2 = 'sin(a)';   

>>S3 = 'sqrt(x)';  

>>int(S1)   

ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x   

>>int(S2)   

ans= -cos(a)   

>>int(S3)   

ans= 2/3*x^(3/2)   

>>int(S3,'a','b')   

ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)   

>>int(S3,0.5,0.6)   

ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)   

>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值   

ans= 0.0741  

2．3求解常微分方程式   

   MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'　D2y代表二阶微分项y''　，   

condition则为初始条件。      

假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件      

y'=3x2, y(2)=0.5     

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25      

y'=3y+exp(2x), y(0)=3     

对应上述常微分方程式的符号运算式为：      

>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')      

ans= x^3-7.500000000000000      

>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相      



>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')      

ans= atan(x^2+1)     

>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3')      

ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)   



2．4非线性方程式的实根   

    要求任一方程式的根有三步骤：   

    先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3，

则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。   

    代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。  

    由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。   

    以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。  

    例一、方程式为   

    sin(x)=0   

    我们知道上式的根有 ，求根方式如下：   

>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根   

  r=3.1416   

>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根   

r = 6.2832  

    例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下：   

>> x=linspace(-2,3);   

>> y=humps(x);   

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根








  

>> r=fzero('humps',1.2)   

r = 1.2995  

例三、方程式为y=x.^3-2*x-5   

    这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下：   

% m-function, f_1.m   

function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数   

y=x.^3-2*x-5;  

>> x=linspace(-2,3);   

>> y=f_1(x);   

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根

[ Last edited by jetzt on 2004-2-3 at 04:16 ]

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1．MATLAB的基本知识

1-1、基本运算与函数   

在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（>>）之後，并按入Enter键即可。例如：   

>> (5*2+1.3-0.8)*10/25   

ans =4.2000   

MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans，代表MATLAB运算後的答案（Answer）并显示其数值於萤幕上。

小提示： ">>"是MATLAB的提示符号（Prompt），但在PC中文视窗系统下，由於编码方式不同，此提示符号常会消失不见，但这并不会影响到MATLAB的运算结果。   

我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数x：   

x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25   

x = 42  

此时MATLAB会直接显示x的值。由上例可知，MATLAB认识所有一般常用到的加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）的数学运算符号，以及幂次运算（^）。   

小提示： MATLAB将所有变数均存成double的形式，所以不需经过变数宣告（Variable declaration）。MATLAB同时也会自动进行记忆体的使用和回收，而不必像C语言,必须由使用者一一指定.这些功能使的MATLAB易学易用，使用者可专心致力於撰写程式，而不必被软体枝节问题所干扰。   

若不想让MATLAB每次都显示运算结果，只需在运算式最後加上分号（；）即可，如下例：

y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);   

若要显示变数y的值，直接键入y即可：   

>>y   

y =-0.0045   

在上例中，sin是正弦函数，exp是指数函数，这些都是MATLAB常用到的数学函数。

下表即为MATLAB常用的基本数学函数及三角函数：   

小整理：MATLAB常用的基本数学函数

abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度

angle(z)：复 数z的相角(Phase angle)

sqrt(x)：开平方

real(z)：复数z的实部

imag(z)：复数z的虚 部

conj(z)：复数z的共轭复数

round(x)：四舍五入至最近整数

fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数

floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数

ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数

rat(x)：将实数x化为分数表示

rats(x)：将实数x化为多项分数展开

sign(x)：符号函数 (Signum function)。   

当x<0时，sign(x)=-1；   

当x=0时，sign(x)=0;   

当x>0时，sign(x)=1。   

> 小整理：MATLAB常用的三角函数

sin(x)：正弦函数

cos(x)：馀弦函数

tan(x)：正切函数

asin(x)：反正弦函数

acos(x)：反馀弦函数

atan(x)：反正切函数

atan2(x,y)：四象限的反正切函数

sinh(x)：超越正弦函数

cosh(x)：超越馀弦函数

tanh(x)：超越正切函数

asinh(x)：反超越正弦函数

acosh(x)：反超越馀弦函数

atanh(x)：反超越正切函数   

变数也可用来存放向量或矩阵，并进行各种运算，如下例的列向量（Row vector）运算：

x = [1 3 5 2];   

y = 2*x+1   

y = 3 7 11 5   

小提示：变数命名的规则   

1.第一个字母必须是英文字母 2.字母间不可留空格 3.最多只能有19个字母，MATLAB会忽略多馀字母   

我们可以随意更改、增加或删除向量的元素：  

y(3) = 2 % 更改第三个元素   

y =3 7 2 5   

y(6) = 10 % 加入第六个元素   

y = 3 7 2 5 0 10   

y(4) = [] % 删除第四个元素，   

y = 3 7 2 0 10   

在上例中，MATLAB会忽略所有在百分比符号（%）之後的文字，因此百分比之後的文字均可视为程式的注解（Comments）。MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算：  

x(2)*3+y(4) % 取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算   

ans = 9   

y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四个元素来做运算   

ans = 6 1 -1   

在上例中，2:4代表一个由2、3、4组成的向量


若对MATLAB函数用法有疑问，可随时使用help来寻求线上支援（on-line help）：help linspace   

小整理：MATLAB的查询命令

help：用来查询已知命令的用法。例如已知inv是用来计算反矩阵，键入help inv即可得知有关inv命令的用法。（键入help help则显示help的用法，请试看看！） lookfor：用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令，可键入 lookfor inverse，MATLAB即会列出所有和关键字inverse相关的指令。找到所需的命令後 ，即可用help进一步找出其用法。（lookfor事实上是对所有在搜寻路径下的M档案进行关键字对第一注解行的比对，详见後叙。）   

将列向量转置（Transpose）後，即可得到行向量（Column vector）：   

z = x'   

z = 4.0000   

   5.2000   

   6.4000   

   7.6000   

   8.8000   

   10.0000   

不论是行向量或列向量，我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等：  

length(z) % z的元素个数   

ans = 6   

max(z) % z的最大值   

ans = 10   

min(z) % z的最小值   

ans =   4   

小整理：适用於向量的常用函数有：

min(x): 向量x的元素的最小值

max(x): 向量x的元素的最大值

mean(x): 向量x的元素的平均值

median(x): 向量x的元素的中位数

std(x): 向量x的元素的标准差

diff(x): 向量x的相邻元素的差

sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting）

length(x): 向量x的元素个数

norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度

sum(x): 向量x的元素总和

prod(x): 向量x的元素总乘积

cumsum(x): 向量x的累计元素总和

cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积

dot(x, y): 向量x和y的内 积

cross(x, y): 向量x和y的外积 （大部份的向量函数也可适用於矩阵，详见下述。）  



若要输入矩阵，则必须在每一列结尾加上分号（；），如下例：   

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];   

A =   

1  2  3  4   

5  6  7  8   

9  10 11  12   

同样地，我们可以对矩阵进行各种处理：   

A(2,3) = 5 % 改变位於第二列，第三行的元素值   

A =   

1  2  3  4   

5  6  5  8   

9  10 11  12   

B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B   

B = 5 6 5   

A = [A B'] % 将B转置後以行向量并入A   

A =   

1  2  3   4  5   

5  6  5   8  6   

9  10 11  12  5   

A(:, 2) = [] % 删除第二行（：代表所有列）   

A =   

1  3  4  5   

5  5  8  6   

9  11 12  5   

A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列   

A =   

1  3   4   5   

5  5   8   6   

9  11  12  5   

4  3   2   1   

A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列（：代表所有行）   

A =   

5  5   8   6   

9  11  12  5   

这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用，产生各种意想不到的效果，就看各位的巧思和创意。   

小提示：在MATLAB的内部资料结构中,每一个矩阵都是一个以行为主（Column-oriented ）的阵列（Array）因此对於矩阵元素的存取，我们可用一维或二维的索引（Index）来定址。举例来说，在上述矩阵A中，位於第二列、第三行的元素可写为A(2,3) （二维索引）或A(6)（一维索引，即将所有直行进行堆叠後的第六个元素）。   

此外，若要重新安排矩阵的形状，可用reshape命令：   

B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩阵的列数，2是新矩阵的行数   

B =   

5   8   

9   12   

5   6   

11  5   

小提示： A(:)就是将矩阵A每一列堆叠起来，成为一个行向量，而这也是MATLAB变数的内部储存方式。以前例而言，reshape(A, 8, 1)和A(:)同样都会产生一个8x1的矩阵。  

MATLAB可在同时执行数个命令，只要以逗号或分号将命令隔开：   

x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,

z =   

7.5000   

若一个数学运算是太长，可用三个句点将其延伸到下一行：  

z = 10*sin(pi/3)* ...   

sin(pi/3);   

若要检视现存於工作空间（Workspace）的变数，可键入who：   

who   

Your variables are:   

testfile x   

这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料，可键入：   

whos   

Name Size Bytes Class  

A 2x4 64 double array   

B 4x2 64 double array   

ans 1x1 8 double array   

x 1x1 8 double array   

y 1x1 8 double array   

z 1x1 8 double array   

Grand total is 20 elements using 160 bytes   

使用clear可以删除工作空间的变数：   

clear A   

A   

??? Undefined function or variable 'A'.   

另外MATLAB有些永久常数（Permanent constants），虽然在工作空间中看不 到，但使用者可直接取用，例如：   

pi   

ans = 3.1416   

下表即为MATLAB常用到的永久常数。   

小整理：MATLAB的永久常数 i或j：基本虚数单位

eps：系统的浮点（Floating-point）精确度

inf：无限大， 例如1/0 nan或NaN：非数值（Not a number） ，例如0/0

pi：圆周率 p（= 3.1415926...）

realmax：系统所能表示的最大数值  

realmin：系统所能表示的最小数值

nargin: 函数的输入引数个数

nargin: 函数的输出引数个数   

1-2、重复命令   

最简单的重复命令是for