一道中学数学题

群群

在一个平面内有三个互不相交的等圆A,B,C. 每个圆上各取一点，即a,b,c。问怎么取这三个点才能使角abc(b是角的顶点)最大或最小？

群群

原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 13:30 发表
一般 几何 还是 解析集合啊?

这个就是仁者见仁，智者见智了。

Klein_Yu

这道题有点挑战哦。其实，求最大角或者最小角，都是一样的，只要找到最小角，那么它的补角就是最大角了。
取圆ABC的圆心连线，则为一个三角形（如果连成一直线为特殊情况）。
取此三角形的两边线的中垂线，交于一点，设为o点，则可以作一个经过三个小圆圆心的大圆设半径为R，并且还可以作一个半径为R＋r的圆，分别交三个圆ABC于mbn。
连接o点和圆B的圆心，并延长至半径为R＋r的圆上，显然交于b点。
那样子，b点可以确定下来了。然后，经过b点，分别作圆A和圆C的切线，分别交于a点和c点。
如此，角abc的最小值就找到了。

对于极端情况，圆ABC圆心连成一直线。
         若圆B的圆心在圆A和圆C的延长线上，那么最小角为0度，最大角为360度。
         否则，作法跟非极限情况一样，只是大圆R的半径为无限大。

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-19 09:49 编辑 ]

群群

原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 15:15 发表




如果这 3 个圆 的圆心位置 在 1 条线上,  还有讨论的意义吗?

这是一种可能性，当然还有其他可能性。

Klein_Yu

原帖由 seefilm 于 2006-12-18 15:13 发表
错误，上图中AC最高点连接上直线和B下方的交点，就比你那个最大角大。

首先，我说这道题有点挑战性，是因为它没有说清楚，看角最大最小，是什么范围内！
这个角可以是钝角、也可以是锐角。

所以，我所给出的解法，如果你算角abc的钝角的话，则完全正确。

如果三个圆的圆心在一条直线上，那么如果圆B在圆A和圆C中间，最大的角就是180度；否则就是360度。

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-18 15:25 编辑 ]