一道趣味高中数学题

jiejiedog

从今天眼光解这道题目自然是很菜，但高中那会微积分还不强（高二时），后来想出一个办法，用了一个比较有趣的办法解了出来。
此题很简单，拿不上台面，仅仅抛砖引玉而已。有兴趣的同学可以跟帖，如有类似心得或趣味题，也共享一下吧。14.gif
题目：计算一个半径为R的半圆的重心位置X。

jiejiedog

答案：
先考虑另一个问题：一个锐角为30度的直角三角形，绕A点旋转。何种情况下，旋转体的体积最大？如果一个物体的密度固定，那么体积越大，它的质量也越大。假设三角板是一块薄板，其质量可以简化为一个质点，比作一枚硬币。在桌上摆出，可以发现（显而易见），硬币越多，围成的圆的半径越大。题目相反，要总质量越大，就应尽可能增加质点围成的圆的半径。因此可以得到，当质点与旋转轴垂直时，旋转体体积最大。
根据上题发现，就可以简便方法求半径为R的半圆的质心X。一样的道理，一个实心的球可以看作是半圆旋转而成（准确的说是多插入N块相同的半圆围成球）。半圆的面质量是（p为密度）p*pai*r*r/2，通过质心法得到的球的质量为2*x*pai* p*pai*r*r/2；
另外通过普通办法p*pai*r*r*r*4/3也是球的质量。质量相等，则
2*x*pai* p*pai*r*r/2＝p*pai*r*r*r*4/3
x* pai＝r*4/3
X＝4R/3pai
用这个方法，不需要微积分知识就可以很快的算出答案（即使用微积分也是蛮复杂的）。

笨猫

1/4*pai*r*r-1/2*x*r=1/2*x*r

[ Last edited by 笨猫 on 2004-1-24 at 15:11 ]

redthorn

！！楼主！  多发一些类似的帖子^^^

免得泡论坛浪费时间，想几道数学题倒是不错!!

:D