ivydy

我也来出题，高中生自习ing，一学生肚子饿了，掏出一包大白兔奶糖，第一颗吃下去可以顶半小时饿，以后没颗所能支持的时间是第一颗的二分之一，问这包糖最多能让该学生支持多长时间

herrrabbit

原帖由 hetty 于 1/9/2007 19:23 发表
貌似还是没有说清楚为什么是30的弧……其实这个题目，小学五年级左右就能做了，不过是数学竞赛的题目，不过小学的方法比中学的繁琐一点。那时我和我的很多同学都做出来的，有一段不错的回忆……

两个等圆过对 ...

圆心距等于半径，三点连线为正三角形，所以另一侧是30度，通力另一侧也是，所以中间的A角也为30度。同意！看起来是把有的东西还给老师了。从你这里受到启发，又把还给老师的拿回来了。我加到里面去

[ 本帖最后由 herrrabbit 于 2007-9-1 19:35 编辑 ]

hetty

貌似还是没有说清楚为什么是30的弧……其实这个题目，小学五年级左右就能做了，不过是数学竞赛的题目，不过小学的方法比中学的繁琐一点。那时我和我的很多同学都做出来的，有一段不错的回忆……

两个等圆过对方圆心相交的话，圆心连线与圆心交点连线的夹角是60度，因为三角形三边都是半径长。所以所求弧一侧是90-60=30度，同理另一侧也是30度，所以所求弧对应的圆心角是30度。

过程写得很详细啊！佩服！
不过我得过会才有时间来验算，估计你的答案应该是对的。

herrrabbit

强烈建议以后把回帖的界面弄成Office一样的，这样对于插入图片或者公式，或者可以直接从本地磁盘插入图片，或者改变颜色字体大小等等都更方便，其他的可以保留，嗬嗬！:gawp:要不这样发帖子太累了！:chicken:

herrrabbit

原帖由 hetty 于 1/9/2007 15:34 发表
我也来出个题目：
271373
四个圆，如图所示，每个圆心在相邻两个圆的交点上，设每个圆的半径为1，求阴影部分的面积。

由于每个圆的圆心在向另两个圆的交点上，因此每个圆真正涉及到阴影几何体的只有其中的四分之一。问题简化为四个1/4圆相交问题。可以同时理解为一个边长为R的正方形，以其四个顶点为圆心边长为半径画弧，求四条弧包围的阴影面积(如图所示)，由于四个圆弧半径相同，且其对应圆心距相同，圆心距等于半径，三点连线形成的三角形O1O2B为正三角形，所以另一侧角度Psy是30度，同理另一侧也是三角形O2O3C为正三角形，角Theta也为30度，所以中间的A角也为30度。

那么四条弧的交点将四条弧分别等分为三段，因此阴影部分由四条30度弧围成。阴影面积等于四条弧顶面积(扇形面积减去其对应圆心角的三角形面积(红色部分)，即天蓝色部分)与以弧顶点连线为半径的正方形(翠绿色部分)之和。

广义的公式推导如下：设半径暨边长为R，扇形对应同圆心角的三角形三条边分别为a,b,c,三条边对应的顶角为A,B,C

基本公式：
扇形面积: S扇形=pi*R²*A/360
三角形面积:
S三角形=1/2*b*c*sinA=1/2*a*c*sinB=1/2*a*b*sinC
三角形已知两边及其夹角求第三边(余弦定理)：c²=a²+b²-2*ab*cosC(其他两个公式根据平等互换原则)

则阴影部分面积S阴影等于：

S阴影=4xS弧顶+S正方形=4·(S扇形-S三角形)+S正方形=[4·(pi*R²*A/360-1/2*b*c*sinA
)+(b²+c²-2*bc*cosA)]!R=b=c=1; A=30°=1/3*pi+1-1,732051(*根号三)




[ 本帖最后由 herrrabbit 于 2007-9-1 19:42 编辑 ]

hetty

原帖由 herrrabbit 于 2007-9-1 17:26 发表


我在找方法证明呢，因为那个理工科生都能够看出来，但是看出来的不一定是正确的，所以想用公式去证明几何形状。

那只好说，你的灵感很准，有学理科的天赋！
证明也不难，好好想想:ridicule:

herrrabbit

原帖由 hetty 于 1/9/2007 17:17 发表

不错啊，这么快就看出来都是30度角了

我在找方法证明呢，因为那个理工科生都能够看出来，但是看出来的不一定是正确的，所以想用公式去证明几何形状。

hetty

原帖由 herrrabbit 于 2007-9-1 17:14 发表


四个30度扇形弧顶面积(扇形面积减去其对应圆心角三角形面积)，再加上一个以弧顶点连线为边长的正方形面积！中学方法来做简单些，同感同感。
想配个图，正在冥思苦想没有扫描仪，没有画图软件，怎么做 ...

不错啊，这么快就看出来都是30度角了

herrrabbit

原帖由 hetty 于 1/9/2007 17:07 发表

尽量用最简单的小学初中的数学方法做哦，用微积分的方法解曲线方程或编电脑程序来解的话，就有点杀鸡用牛刀了……

四个30度扇形弧顶面积(扇形面积减去其对应圆心角三角形面积)，再加上一个以弧顶点连线为边长的正方形面积！中学方法来做简单些，同感同感。
想配个图，正在冥思苦想没有扫描仪，没有画图软件，怎么做呢！先占个位子，以后把图放上来，顺便把公式也放上来:naughty:

hetty

原帖由 hetty 于 2007-9-1 15:34 发表
我也来出个题目：
271373
四个圆，如图所示，每个圆心在相邻两个圆的交点上，设每个圆的半径为1，求阴影部分的面积。

尽量用最简单的小学初中的数学方法做哦，用微积分的方法解曲线方程或编电脑程序来解的话，就有点杀鸡用牛刀了……