原帖由 hetty 于 1/9/2007 15:34 发表
我也来出个题目:
271373
四个圆,如图所示,每个圆心在相邻两个圆的交点上,设每个圆的半径为1,求阴影部分的面积。


由于每个圆的圆心在向另两个圆的交点上,因此每个圆真正涉及到阴影几何体的只有其中的四分之一。问题简化为四个1/4圆相交问题。可以同时理解为一个边长为R的正方形,以其四个顶点为圆心边长为半径画弧,求四条弧包围的阴影面积(如图所示),由于四个圆弧半径相同,且其对应圆心距相同,圆心距等于半径,三点连线形成的三角形O1O2B为正三角形,所以另一侧角度Psy30度,同理另一侧也是三角形O2O3C为正三角形,角Theta也为30度,所以中间的A角也为30度

那么四条弧的交点将四条弧分别等分为三段,因此阴影部分由四条30度弧围成。阴影面积等于四条弧顶面积(扇形面积减去其对应圆心角的三角形面积(红色部分),即天蓝色部分)与以弧顶点连线为半径的正方形(翠绿色部分)之和。

广义的公式推导如下:设半径暨边长R,扇形对应同圆心角的三角形三条边分别为a,b,c,三条边对应的顶角为A,B,C

基本公式:
扇形面积: S扇形=pi*R²*A/360
三角形面积:
S三角形=1/2*b*c*sinA=1/2*a*c*sinB=1/2*a*b*sinC
三角形已知两边及其夹角求第三边(余弦定理):c²=a²+b²-2*ab*cosC(其他两个公式根据平等互换原则)

则阴影部分面积S阴影等于:

S阴影=4xS弧顶+S正方形=4·(S扇形-S三角形)+S正方形=[4·(pi*R²*A/360-1/2*b*c*sinA
)+
(b²+c²-2*bc*cosA)]!R=b=c=1; A=30°=1/3*pi+1-1,732051(*根号三)




[ 本帖最后由 herrrabbit 于 2007-9-1 19:42 编辑 ]

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Das Leben ist wie eine Schachtel Pralinen. Man weiß nie, was man bekommt!
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强烈建议以后把回帖的界面弄成Office一样的,这样对于插入图片或者公式,或者可以直接从本地磁盘插入图片,或者改变颜色字体大小等等都更方便,其他的可以保留,嗬嗬!:gawp:要不这样发帖子太累了!:chicken:
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原帖由 hetty 于 1/9/2007 19:23 发表
貌似还是没有说清楚为什么是30的弧……其实这个题目,小学五年级左右就能做了,不过是数学竞赛的题目,不过小学的方法比中学的繁琐一点。那时我和我的很多同学都做出来的,有一段不错的回忆……

两个等圆过对 ...


圆心距等于半径,三点连线为正三角形,所以另一侧是30度,通力另一侧也是,所以中间的A角也为30度。同意!看起来是把有的东西还给老师了。从你这里受到启发,又把还给老师的拿回来了。我加到里面去

[ 本帖最后由 herrrabbit 于 2007-9-1 19:35 编辑 ]
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原帖由 ivydy 于 1/9/2007 21:43 发表
我也来出题,高中生自习ing,一学生肚子饿了,掏出一包大白兔奶糖,第一颗吃下去可以顶半小时饿,以后没颗所能支持的时间是第一颗的二分之一,问这包糖最多能让该学生支持多长时间


我上自习不吃大白兔奶糖的:naughty:,而且你一包大白兔奶糖有多少颗啊?

这个不是一个一般的级数问题,不是简单的1/2+1/4+.....+1/2^n|n无穷 然后去极限等于1小时的问题!

按照一般来说一包大白兔里面应该有至少30颗,一般吃一颗要看你怎么吃发了,有含化的,有嚼着吃的,嚼着吃比较快,我不知道常人怎么样,我最快可以嚼着吃半分钟一颗。OK,就算有更快的吧。那么仔细算算,把剥糖纸的时间算为零,也算是吃了马上就消化吸收了,然后消化完了马上就会感到饿,那就饿了就吃,那么你吃到第19颗的时候还能够嚼两下,吃第20颗的时候就得生吞了,然后往下走吧,等你30颗吃完的时候,一包也没有了,还不到一个小时呢!但是你会因为这样贪吃直接就送医院了,消化不良!更有可能直接一命呜呼,因为他来不及呼吸了,所有时间都放在吞糖上面了:astonishment:

结论:这包糖最多让该学生支持永久的生命,因为死了也不会感到饿了!居然临死还能吃完一包大白兔,幸福!
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而且按照高中生的规矩,上晚自习好像不准吃东西,各个学校规定不一样吧,就算能吃,拿出来就被其他人抢光了,那么就有以下情况:

不准吃或者一颗没吃着:就挨饿吧!
只吃一颗就被抢光了:那就半个小时
不被抢:30颗奶糖还没有吃完晚自习就结束了,回寝室泡方便面!
按照前面的说法:死翘翘
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原帖由 ivydy 于 1/9/2007 22:34 发表
嗯,好像你们两个离高中生活太远了!!!!!!
这真是我高中时候给同学出的题啊
正确答案是
理论上一小时
实际上一拿出来就被大家抢没了,自己能吃到一颗管半小时就不错了

不过当时同学也就是这么答的哦 ...


莫名惊讶啊!
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原帖由 hettyw 于 1/9/2007 22:57 发表

不是啊,前面也有类似脑筋急转弯的题目,这里不是严肃的场合。
我只是想到我的中学生活,和一群变态在一起生活太久了,身心俱伤,唉。不过也所以现在看到什么样的人都不会觉得奇怪了。

不说了,大家继续出 ...


场合的确不用太严肃,大家一起玩吗!

不过那道题是脑筋急转弯了?:astonishment:
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原帖由 hettyw 于 1/9/2007 23:06 发表
以下请用一元一次方程式解:

某次数学比赛,有两种评分方法:第一种答对一题得5分,不答得2分,答错不扣分;第二种先给40分,答对一题得3分,不答不得分,答错扣1分,某学生用两种方法评分均得81分,请问这次 ...


这么快就删除一道题了,那就先解决第一题吧。

第一题:我觉得如果是一元一次的话不能列等式,那只好是不等式了:
由于不答也可以的两分,但是结果81分是一个奇数,那么说明答对的肯定是一个奇数了。
但是如果全部都答对的话,也得不到81分这个结果,说明两个都有,也就是说如果都答对的话,肯定高于81分;所以我想这么列式:
假设答对了x题,那么:5x<=81 & (40+3x)>=81,由这两个也就得出14<=x<=16,而且答对的一定要是奇数,也就是说答对了15题。
15题答对了,得分75分,按照第一种评分,没有回答的题有(81-75)/2=3道题;按照第二种评分标准,答对了15题得了45+40=85分,扣了四分,那么四道题答错,题目总数为15+3+4=22题

PS>第二题有问题吗?我看看,我有记下来
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第二题:曾经存在的时候是:修水渠,每天多修8米可以提前4天完工,每天少修8米要延迟4天才完工,问总长多少!
按照纯数学去看的话,先从多元方程角度出发找答案吧,假设每天完成L米,总共需要N天,总长为S米,那么:
N*L=S & (N-4)(L+8)=S & (N+4)(L-8)=S,解答出来只能得到2N=L,但是不可能出现负时间,而且提前四天完成的话,至少原来需要5天,因为不可能不修就完成,那么N>=5, L>=10, S>=50
问题出来了,从前两个方程合并得到NL+8N-4L-32=S=NL,也就是说8N-4L-32=0=4L-4L-32=-32
Super!一个恒不等式 -32=0。是有问题!
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原帖由 hetty 于 2/9/2007 09:17 发表


哈哈,是发了题目再自己解的,所以……
网上搜出来的题目,的确很简单。


题目不是Hetty发的,是另一个马甲发的!听说是忘了换过来了:blackness::blackness:
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