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发表于 2004-5-11 20:30
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量子力学基本方程不能描述跃迁过程
汕头大学 章钧豪
量子力学用Schrödinger方程
(1)
描述原子中电子从一种状态跃迁到另一种状态的过程. 式中是时间因子. 量子力学含时微扰理论把展开为级数
(2)
这样(1)式变为近似方程
(3)
(4)
可惜到目前为止, 人们只找出这个级数的前几项(不超过10阶). 所以只能用前面有限项之和代替整个级数去描述实验, 这样必然产生误差. 由于人们既没有求出, 更没有求出, 因此无法回答这个误差到底多大的问题. 所以用一句严格的话讲, 对于跃迁问题, 量子力学的一切理论结论是以未知误差作为它的前提. 因此这一理论的基本问题是, 到底有限阶近似解之和能不能代替准确解? 所产生的误差是不是允许的? 这是是量子力学的最重大的基本悬案. 也是20世纪物理理论的最大悬案. 解开这一悬案必须先解决如下三个问题: (1)任意N阶近似的表示式是怎么样? (2)准确解的形式是怎么样? (3)含时微扰级数在那个区域内收敛? 大多数理论物理学家认为这是一个不能逾越的难题. 当然解决这一悬案一定要冗长繁难的数学推导. 在这样一篇短小的文章里只能对基本思路作一些简介. 对这一问题有兴趣的学者可以进一步参考我的其它文章.
当然问题的关键在于求含时微扰的任意N阶近解. 而解决这个问题的要害是要能从前几阶近似解看出它的一般规律. 目前已求出的低阶含时微扰公式在形式上太复杂, 很难看出它的变化规律. 所以应该寻找一个比较简单的表示形式. 量子力学前几阶近似结果是用表示，如果把量子力学求出结果中的换为, 就会得出意想不到的结果. 这里是由定态微扰方程
(5)
(6)
求出的本征函数的N阶近似..
量子力学只讨论两种类型的时间因子
(7)
和
(8)
所有量子力学教科书首先讨论的是时间因子为, 的本征值为分立谱情况。把量子力学结果中的换为得到如下的结果
(9)
(10)
(11)
上式中引入下标q是表示由量子力学含时微扰法求出的式子. 量子力学求出的2阶近似公式与与(11)式差一点，这一差别来源于量子力学含时微扰法在计算时忽略了的贡献. 从这三个式子你一定会猜想到, 对任意N阶近似解的普遍表达式应是
(12)
这个公式已经包含量子力学在这个问题上的所有成果，而且推广到任意N阶情况. 这样, 你可以轻易的跨过这个被认为是不能逾越的障碍. 下一步是求和,
,(13)
然而这个式子还不是Schrödinger方程的准确解. 毛病出在量子力学求1阶微扰近似时,只讨论情况. 如果把的结果也考虑进去，1阶和各阶近似解的表示式都要补充. 如果细心一点, 就可以发现含时微扰给出的表示式(10)、(11)、(12)的数学结构是不完整的, 它只含项, 不含项. 完整的N阶近似表示式是
(14)
(10)、(11)、(12)式只是它的第一项. 我们能够用数学归纳法证明这个式子是正确的, 并求出系数的递推关系. 由于(12)式不是数学结构完整的表示式, 所以不能在(12)式形式下用数学归纳法证明它是正确的. 但是作为(14)式第一项系数
(15)
它是正确的. 同样的计算过程，得到准确解形式应修改为
(16)
直接代入Schrödinger方程可以证明: 对于任意能量, 上式都是它的准确解, 并且满足指定初始条体. 但这样的图象不能描述跃迁过程。事实上按照量子力学单位时间跃迁几率的定义
(17)
为什么准确解不能描述物理过程, 而量子力学含时微扰解却能描述物理过程呢? 由上面讨论知道, 准确解在的任意区域都是正确的. 含时微扰(9)式或
(18)
在本质上是把(16)式中的按定态微扰展开.它只在定态微扰级数收敛区域内才近似正确. 但量子力学把它应用到级数发散区域.
在这个区域内用有限阶近似解代替准确解将产生足够大的误差M,
(19)
当 时, . 因此, 由(18)式求出的Fermi黄金定则在数学上是错误的. 它不是Schr?dinger方程在数学上合理的推论.
图1 I是级数发散区, 量子力
学把一阶微扰用于求发散区内
的跃迁几率
结论: 在时间因子为, 的本征值是分立谱情况下, Schrödinger方程的准确解是不能描述跃迁过程.含时微扰用前面有限阶近似解之和代替准确解导致极大误差, 因而在数学上是错误. 这个错误掩盖Schrödinger方程准确解不能描述跃过程这一事实.
对于本征值是连续谱, 时间因子是的情况, 在我的有关文章中有专题讨论. 有需要的学家者可以参阅这些论文
量子力学认为应该用波动图象来描述电子的运动. (16)式给出的正好是一种标准的状态随时间变化的波动图象. 体系在各种可能状态之间来回振荡, 因此平均单位时间跃迁几率为零. 所以这一图象是不能描述跃迁过程的. (18)式给出的是一种特殊的波动图象, 它可以按量子力学给出的做法来描述跃迁. 但是这种振动的特点是: 当时, 振幅趋于无穷大, 这本身就与量子力学的基本约定矛盾. 振幅的平方代表体系出现在某一状态的几率, 而这种几率是不会超过100%, 更不会趋于无穷大, 所以它是数学错误产生的. 这就是以上讨论的实质.
对含时微扰级数收敛性的讨论无疑有助于弄清量子力学的悬案. 回避不是解决问题的办法. 况且任何物理理论都不可能迥避严格的数学推理. 我相信在21世纪人们必定能够找出新的图象来描述微观物理过程.
参考文献
Zhang Junhao, Physics Essays 10,1 (1997).
P.A.M.Dirac, The principles of Quantum Mechanics. 3rd. ed. (Clarendon Press, Oxford, 1947).
Feynman R.P., Phys.Rev. 76,749 (1949).
T.Y. Wu and T. Ohmura, The Quantum Theory of Scattering. (Prentic Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1962).
P.roman, Advanced Quantum Theory. (Addison-Wesley, Reading, MA, 1965).
L.I.Schiff, Quantum Mechanics. 2ec ed. (1955).
Zhang Junhao, ePrint-archive(xxx.itp.ac.cn), Physics/0101046.
8. Zhang Junhao, ePrint-archive(xxx.itp.ac.cn), Physics/0101049.
曾谨言, 量子力学.
10. www.newpo.com上陈列有我的有关文章.
附录1 前三阶含时微扰的新表示式
定态微扰方程的解是
把它代入上面(9), (10), (11)式,
它正是零阶含时微扰解, 所以
其次, 当时
这个式子正好是一阶含时微扰, 所以当时
下面计算2阶含时微扰近似。先看三个式子,
所以
前两项正是量子力学求出的2阶含时微扰公式。由于量子力学在1阶微扰中略去情况(即略去项)贡献, 所以没有第三项。 |
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