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标题: 有一道数学题 [打印本页]
作者: 月半    时间: 2007-12-13 02:10     标题: 有一道数学题

从哥廷根到卡塞尔，大约120公里，有个人A骑自行车，从卡塞尔出发来哥廷根，每小时骑20公里，中途休息了三次，每次十分钟，凑巧他朋友B从哥廷根骑车去卡塞尔见他，每小时骑10公里，中途也休息了三次，每次十分钟，B带着一条小毛驴，跑得快，先跑了，一小时跑50公里，路上遇到A叫唤一声立刻往回跑，见到B之后叫唤了一声又往A处跑，又往B处跑，又往A处跑，又往B处跑……在一个路口转弯处AB遭遇，同时撞在驴屁股上，假设小毛驴叫唤的时候不浪费时间，从开始跑到被俩人撞屁股，一共跑了多少里。
我准备今晚失眠的时候躺床上心算这道题。
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-13 03:46

:-) 这道题看似复杂，其实没那么花哨。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 09:34

原帖由 不朽的神话 于 2007-12-13 03:46 发表
:-) 这道题看似复杂，其实没那么花哨。

这道题其实还有一问：问在小毛驴被撞屁股前最多叫几声。
你帮忙算算吧。
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-13 12:57

是要知道方法，还是要个答案呢？
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 20:10

原帖由 月半 于 2007-12-13 02:10 发表
从哥廷根到卡塞尔，大约120公里，有个人A骑自行车，从卡塞尔出发来哥廷根，每小时骑20公里，中途休息了三次，每次十分钟，凑巧他朋友B从哥廷根骑车去卡塞尔见他，每小时骑10公里，中途也休息了三次，每次十分钟，B带 ...


這個還需要晚上算麽？
驢共跑了200公里。
中學數學的競賽題嘛。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 20:31

原帖由 不朽的神话 于 2007-12-13 12:57 发表
是要知道方法，还是要个答案呢？

连答案带方法。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 20:34

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 20:10 发表


這個還需要晚上算麽？
驢共跑了200公里。
中學數學的競賽題嘛。

你果然算错了。
扣你十cent。

[ 本帖最后由 月半 于 2007-12-13 20:36 编辑 ]
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 20:48

原帖由 月半 于 2007-12-13 20:34 发表

你果然算错了。
扣你十cent。


爲什麽錯了？
我記得這題小時候我做過無數次。
同樣的方法做出來應該就是200啊。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 20:50

原帖由 月半 于 2007-12-13 20:34 发表

你果然算错了。
扣你十cent。


啊哈，果然錯了！還有休息時間。

是不是應該是225。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 21:16

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 20:50 发表


啊哈，果然錯了！還有休息時間。

是不是應該是225。

嗯，这次嘛，基本算你正确了。
你中学毕业啦。
不过，扣掉的10 cent不发还啦。
算算第二问吧。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 21:25

原帖由 月半 于 2007-12-13 21:16 发表

嗯，这次嘛，基本算你正确了。
你中学毕业啦。
不过，扣掉的10 cent不发还啦。
算算第二问吧。


我認爲第二問很難。
因爲我到現在都沒有想出有什麽簡單的方法可以計算出答案。
關鍵他們休息了。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 21:43

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 21:25 发表


我認爲第二問很難。
因爲我到現在都沒有想出有什麽簡單的方法可以計算出答案。
關鍵他們休息了。

可不可以做这种假设
他们出发之前都给休息完了
或者相遇之后才开始休息
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 21:48

原帖由 月半 于 2007-12-13 21:43 发表

可不可以做这种假设
他们出发之前都给休息完了
或者相遇之后才开始休息


如果這樣假設，那225和200用哪個？
想不通。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 21:58

原帖由 月半 于 2007-12-13 21:43 发表

可不可以做这种假设
他们出发之前都给休息完了
或者相遇之后才开始休息


是不是12次？
作者: 月半    时间: 2007-12-13 22:03

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 21:58 发表


是不是12次？

为啥是12次？
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 22:19

原帖由 月半 于 2007-12-13 22:03 发表

为啥是12次？


我是用圖形法解的，也不知道對不對。反正有12次相交，但是不知道如何解釋它的意義。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 22:57

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 22:19 发表


我是用圖形法解的，也不知道對不對。反正有12次相交，但是不知道如何解釋它的意義。

直觉上叫声应该是有限的
但是极端化之后似乎是无限的
小驴叫的第一声时间应该是“全程/（a遇到驴前平均速度+驴平均速度）”
叫的第二声时间应该是"第一声的时间+(全程-a已走路程-b已走路程)/（b在此时至遇到驴之前所走路程中平均速度+驴速），
依次类推
先推出两个极端，a，b所有休息时间都在开头，或者末尾，并且假设a，b分散休息时间于途中的效果介于两个极端效果之间。
则，假设ab出发前把所有的休息时间都给休息掉了，那么此时，小驴叫唤次数为一个问号（？）
假设，ab所有的休息时间都在相遇前尽可能短的时间内，比如十亿分之一秒时开始休息，此时小驴的叫唤次数为两个问号（？？）
对于中间的不同休息方式，我们任举一个特例，比如每一小时休息一次，此时小驴叫唤次数为三个问号（？？？）
如果我们能够证明这三个成递减或者递增，则我们的后半部假设粗略认为是正确的，
但是我们现在发现两个问号趋于无穷大或者尽可能大，效果溢出
我们只好再取一个中间值特例检验，比如，我们假设两个小时后他们第一次休息，三小时分钟后第二次休息，三个半小时后第三次休息，第四小时相遇，小驴叫唤数为四个问号（？？？？）
考察结果为：？<？？？<？？？？，或者相反。
但其实这都不太重要，最多的叫唤次数为，两人相遇前至距离小于等于一个驴身时候开始休息，则小驴会叫唤至死或者一口气喘不上来憋死。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 23:01

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 22:19 发表


我是用圖形法解的，也不知道對不對。反正有12次相交，但是不知道如何解釋它的意義。

我很好奇你的图形法是怎么求解的。
另外，神话的方案是什么我一直很好奇。
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-13 23:12

我是这样考虑的。不知道对不对，和2位一起讨论一下：

225和休息不休息没有关系。
驴叫几次也和休息不休息没有关系。

225比较好得到。
第一问我更像是逻辑问题，而非数学问题，因为算法比较简单：
A和B同时出发的，A的速度是B的2倍，两人休息同样的时间和次数（所以无所谓），AB初始相距120，很容易得出最后到两人相遇，A行驶了80公里（行驶4小时），B行驶了40公里（行驶4小时），而共同经历的时间则为4.5小时（含3次10分钟休息）。

假设：驴子（设为D）和他们一起出发，则A、B、D经历的时间相同。但是D却比A和B多跑30分钟（3 x 10min)，即0.5小时，则轻易得出到三者相遇，D行驶了225公里。

假设：D不同时出发，而先出发（这在题干里可以隐约看出），设其单独行驶时间为T0。因为A、B同时出发、速度恒定、休息相同，无论D提前多少时间出发（即T0为多少），最后三者总会在距离A地（哥）80公里、B地（卡）40公里的地方相遇，AB两者行驶过的路程和时间与之前的假设一致。但是D行驶过的时间则为 (T0+4.5) Hours，路程为 （225+50*T0）km。T0理论可以为任何值（实际会有限制），第一问的答案无解，或说有无数解。

—— 但是这给第二问做下了铺垫：

为何会有最大值？？
既然最终三者相遇的地点和AB共同经历时间不变，相遇次数这个最大值应该取决于T0这个变量。那T0怎样取，会有最大值？当然是第一次D和A相遇点距离A越近，即距离B越远 —— 也即D首次和A相遇前行驶的路程越长，D将行驶的总行程也就越长，其和另外两者相遇的次数就会越多（如果难以理解，画张图可以帮忙）。这个首次相遇前的路程最大值，即为AB两地距离（120公里）—— 其实就是一种极端情况，在D行驶了2.4小时后（120/50=2.4)，D到达A地，就在那个瞬间，A和B出发，A和D也就相遇了，D马上转头朝B行驶。

这样的话，其实已知条件就都已经知道了……


答案我还没算，所以我之前问是否要答案，还是只要解题思路。lz难道没有正确答案吗？？
似乎不是12吧~
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-13 23:14

原帖由 月半 于 2007-12-13 22:57 发表

直觉上叫声应该是有限的
但是极端化之后似乎是无限的
小驴叫的第一声时间应该是“全程/（a遇到驴前平均速度+驴平均速度）”
叫的第二声时间应该是"第一声的时间+(全程-a已走路程-b已走路程)/（b在此时至遇到驴之 ...



打字太慢了，发出了帖，才发现已经有了好多更新……:oooo:
作者: 月半    时间: 2007-12-13 23:20

原帖由 不朽的神话 于 2007-12-13 23:12 发表
我是这样考虑的。不知道对不对，和2位一起讨论一下：

225和休息不休息没有关系。
驴叫几次也和休息不休息没有关系。

225比较好得到。
第一问我更像是逻辑问题，而非数学问题，因为算法比较简单：
A和B同时出 ...

我认为你这个答案是不对的。
甚至第一问的T0都属于错误的内容了。
225应该是对的。
第一问应该是比较典型的数学问题，第二问是有麻烦的。
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-13 23:21

我是说225是对的呀

没说225不对
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 23:29

原帖由 月半 于 2007-12-13 22:57 发表

直觉上叫声应该是有限的
但是极端化之后似乎是无限的
小驴叫的第一声时间应该是“全程/（a遇到驴前平均速度+驴平均速度）”
叫的第二声时间应该是"第一声的时间+(全程-a已走路程-b已走路程)/（b在此时至遇到驴之 ...


如果是有答案的數學密題,我相信肯定不用這麽複雜就可以求出解的。而且解法是相當出人意料的簡單，並且回味深長。如果你把他弄成極限問題，就很複雜了。都成之諾了。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 23:32

原帖由 月半 于 2007-12-13 23:01 发表

我很好奇你的图形法是怎么求解的。
另外，神话的方案是什么我一直很好奇。


用方框表示80和40，驢每叫一次，就改變方向一次，在圖上的表示就是，遇到牆壁后倒一個方向。A，B合成一個矢量，和驢一起在圖上表示，有12個交點。
作者: 月半    时间: 2007-12-13 23:36

我现在也觉得那个问题是有问题的。
就算中间都不休息，最后距离极短的时候次数也似乎是一个极限问题。
因为不考虑驴叫的时间，那么只要时间无限小，相遇是没有问题的，但是次数计算是有问题的。
我想最后这一步应该设置一个终止条件。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 23:37

原帖由 不朽的神话 于 2007-12-13 23:12 发表
我是这样考虑的。不知道对不对，和2位一起讨论一下：

225和休息不休息没有关系。
驴叫几次也和休息不休息没有关系。

225比较好得到。
第一问我更像是逻辑问题，而非数学问题，因为算法比较简单：
A和B同时出 ...


我覺得很明顯，休息時間和次數都會影響驢的路程。因爲驢是無時無刻有速度，直到兩人相遇的。

後面其實我覺得是有影響的，但如果有影響，本題就太難了。我只有仰望華羅庚之類的高人，希望他們給我出乎意料的解法。反正我是想不出來。但是如果只是數學迷題，那肯定沒有影響。肯定有一個答案，這個答案是把無限問題巧妙轉化為有限問題，從而得到解的。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-13 23:40

原帖由 月半 于 2007-12-13 23:36 发表
我现在也觉得那个问题是有问题的。
就算中间都不休息，最后距离极短的时候次数也似乎是一个极限问题。
因为不考虑驴叫的时间，那么只要时间无限小，相遇是没有问题的，但是次数计算是有问题的。
我想最后这一步应 ...


次數計算沒有問題，肯定有解。
只是我們沒有想到而已。
你聼過烏龜和之諾的那個故事麽？
陷入無限就走不出來了。
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-14 00:01

走了，明天回國繼續算。
希望下次來可以看到驚喜的解。
吼吼，各位晚安。
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-14 01:24

原帖由 小灯泡 于 2007-12-13 23:37 发表


我覺得很明顯，休息時間和次數都會影響驢的路程。因爲驢是無時無刻有速度，直到兩人相遇的。

後面其實我覺得是有影響的，但如果有影響，本題就太難了。我只有仰望華羅庚之類的高人，希望他們給我出乎意料的解 ...



可是驴的速度并不改变A和B的速度，我仍然认为A和B会在同样的地点相遇，而休息时间和次数对其没有影响。因为两人休息的时间及次数是相等的，这段路不休息，下段路就会休息，总之遇到之前总归要休息的，而这两者有时等同作用的。只不过需要把他们休息的时间仍然要记入驴子的路程中罢了。

今天晚了，回头我再仔细看看半月的思路，看看是怎么想的。
作者: Ruiwen    时间: 2007-12-14 14:13

人都休息三次呢，居然不让小驴吃草，还让人家边叫边跑，真残忍
作者: 不朽的神话    时间: 2007-12-14 21:14

原帖由 Ruiwen 于 2007-12-14 14:13 发表
人都休息三次呢，居然不让小驴吃草，还让人家边叫边跑，真残忍



好吧，其实小毛驴是指电驴啊，小木兰轻骑，厚厚~~
作者: 1205    时间: 2007-12-15 01:22

我来挑挑刺儿:
题中并没有说明一定是在两人相碰前休息完. 也有可能两人在相碰前休息了一次, 也有可能休息了两次, 也有可能一人在休息的时候碰上了赶路前来的朋友. 所以得分好多种情况加以讨论.
作者: 小灯泡    时间: 2007-12-25 13:57

這帖子怎麽沉了！有答案了沒有？今天突然發現，國内可以上CSUCHEN。



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