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标题: 猫和老鼠的问题 [打印本页]
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 00:17     标题: 猫和老鼠的问题

题目是这样的:猫不会游泳,老鼠回游泳.老鼠在半径为R的水池中,老鼠的运动速度为V,猫在岸上的速度为4V.问,老鼠可以逃掉吗?

谢谢赐教.
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 02:31

我看这样吧

极坐标解法

另猫的位置为 （Pi, R）

老鼠的位置为 (ä,ö  )

方程如下

(R-ö  )/V > (PiR-ä*R)/4V

解出来是一个关于ä 和 ö的 不等式 然后就转为直角坐标划曲线好了

晕 好像错了 老鼠的最佳路线不是沿半径向外 而是和猫所在切线方向的轨迹  复杂了。。。。

[ 本帖最后由 zizidodoII 于 2006-7-9 03:49 编辑 ]

图片附件: sulu.JPG (2006-7-9 02:49, 17.76 KB) / 下载次数 4
http://csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=208856&k=bfb663e703161fadfbbc76ce53a2591d&t=1727441999&sid=n9oKU9

作者: sunbird10    时间: 2006-7-9 10:24

怎么才算跑掉，被猫抓住？猫开始在哪，老鼠在哪？老鼠突然抽筋溺死算不算跑掉（跑上帝那了）lol.gif
作者: Flea    时间: 2006-7-9 11:15

不出来就是了
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 11:34

好题目呀！值得做！
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 11:42

原帖由 chairmanqin 于 2006-7-9 11:19 发表
不用这么麻烦吧。。。



要的 实际上就是求坐标关系  有没有大牛指点一下阿
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 11:43

天哪，还是让猫和老鼠自己去解决巴
作者: 驴子    时间: 2006-7-9 11:49

啥到逃掉啊，上了岸还是可以继续追得

V对4V，上了岸总会被追上的吧
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 11:51

原帖由 驴子 于 2006-7-9 12:49 发表
啥到逃掉啊，上了岸还是可以继续追得

V对4V，上了岸总会被追上的吧


我估计默认认为 上岸了 老鼠速度为正无穷
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 11:52

原帖由 驴子 于 2006-7-9 12:49 发表
啥到逃掉啊，上了岸还是可以继续追得

V对4V，上了岸总会被追上的吧



说不定追上了，老猫就心肌梗死呢lol.gif
作者: 驴子    时间: 2006-7-9 11:55

印象中老鼠是在水池中间

走的路线是条弧线，老鼠每一时刻逃跑的方向是它和猫当前位置连线的反方向
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 11:56

用到极坐标。
我的想法是，t=0时，老鼠距离圆心距离为X，与半径夹角为SIGMA,背对猫。
接下去就是计算，老鼠速度在半径方向上的分量的积分等于半径＋X的时候，猫的速度（只有切线方向的分量）的积分到达老鼠对着的那个点，就能追上，否则追不上。
如果简化问题，设开始阶段老鼠就在圆中心的话应该好算一些。
楼主有没有什么悬赏啊？:)
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 11:57

原帖由 驴子 于 2006-7-9 12:55 发表
印象中老鼠是在水池中间

走的路线是条弧线，老鼠每一时刻逃跑的方向是它和猫当前位置连线的反方向

其实老鼠就在原地打转，猫理论上就要开始追了^_^让猫跑上N小时就可以脱身了
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 11:59

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 12:56 发表
用到极坐标。
我的想法是，t=0时，老鼠距离圆心距离为X，与半径夹角为SIGMA,背对猫。
接下去就是计算，老鼠速度在半径方向上的分量的积分等于半径＋X的时候，猫的速度（只有切线方向的分量）的积分到达老鼠对着 ...


跟我想法一样 但是不能假设在圆心 否则没意义了 :D
作者: 驴子    时间: 2006-7-9 12:01

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 12:59 发表


跟我想法一样 但是不能假设在圆心 否则没意义了 :D

能不能在圆心用matlab模拟一下就可以了

让狗狗做一个，然后帖上来lol.gif
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 12:05

原帖由 驴子 于 2006-7-9 13:01 发表

能不能在圆心用matlab模拟一下就可以了

让狗狗做一个，然后帖上来lol.gif

这个太赖了，大家先用解析法做试试看。tongue.gif
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 12:09

原帖由 驴子 于 2006-7-9 13:01 发表

能不能在圆心用matlab模拟一下就可以了

让狗狗做一个，然后帖上来lol.gif


用不到matlab

圆心的话就这轨迹

老鼠只有相反方向跑 时间上 PiR/4V 和 R/V  一定跑不掉

图片附件: sulku2.JPG (2006-7-9 12:09, 18.41 KB) / 下载次数 1
http://csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=208869&k=fdf7256ed0e5fda9b7457967044b8fbd&t=1727441999&sid=n9oKU9

作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 12:22

原帖由 bluestem 于 2006-7-9 13:16 发表

为什么方向是死的，老鼠可以边往岸边游，边改变方向，弧线运动。


对哦  那 jiejiedog的算法估计要换一下了 我考虑只有当猫过了 1/4圆周的时候 才开始切线方向运动 靠 那不在圆心的就更复杂了…… 晕了

图片附件: sulku22.JPG (2006-7-9 12:22, 22.47 KB) / 下载次数 2
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作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 12:25

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 13:22 发表


对哦  那 jiejiedog的算法估计要换一下了 我考虑只有当猫过了 1/4圆周的时候 才开始切线方向运动 靠 那不在圆心的就更复杂了…… 晕了

我的不用换，我就是这么考虑的呀，所以sigma在不停的变。
楼上有道理，可以考虑从圆心开始，简化问题
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 12:26

原帖由 bluestem 于 2006-7-9 13:22 发表


初始条件可以定在圆心，如果老鼠够聪明的话，当然是游到中间最安全的地方，然后考虑最安全的路线逃出去，不然你给它算出来安全路线，它一样笨到往猫的方向跑。

如果初始条件是老鼠和猫在直径的两头呢lol.gif


愚以为初始条件当然不能定在圆心 就像你说的情况 老鼠和猫在 直径两头 原本老鼠处在优势位置反而先要向回跑？
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 12:29

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 13:25 发表

我的不用换，我就是这么考虑的呀，所以sigma在不停的变。
楼上有道理，可以考虑从圆心开始，简化问题



"我的想法是，t=0时，老鼠距离圆心距离为X，与半径夹角为SIGMA,背对猫。
接下去就是计算，老鼠速度在半径方向上的分量的积分等于半径＋X的时候，猫的速度（只有切线方向的分量）的积分到达老鼠对着的那个点，就能追上，否则追不上。
如果简化问题，设开始阶段老鼠就在圆中心的话应该好算一些。"

如果照这个算法 那么先开始老鼠的路线就是向第一象限的弧形 这样明显是不合适的 应该先沿x正向走 不去理猫 到了猫行走方向切线和老鼠方向一样的时候才开始用上述计算

[ 本帖最后由 zizidodoII 于 2006-7-9 13:32 编辑 ]

图片附件: sulku223.JPG (2006-7-9 12:32, 24.96 KB) / 下载次数 0
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作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 12:43

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 13:29 发表



"我的想法是，t=0时，老鼠距离圆心距离为X，与半径夹角为SIGMA,背对猫。
接下去就是计算，老鼠速度在半径方向上的分量的积分等于半径＋X的时候，猫的速度（只有切线方向的分量）的积分到达老鼠对着的 ...

你的画图技术真强！用鼠标画的么？
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 12:45

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 13:43 发表

你的画图技术真强！用鼠标画的么？


汗 素啊 没看到那里强啊
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 13:34

还没算出来么？  老猫和老鼠都饿死了
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 13:45

觉得应该站在猫或老鼠的角度 用最优(运筹)试试
我没做出来，运筹没学好tired.gif
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 13:46

我先用差分方程算了一下，解析法还没做。
从图上看，老鼠怎么也逃不了了。
我换了好几个初始条件，结果都是一样的。

[ 本帖最后由 jiejiedog 于 2006-7-9 14:47 编辑 ]

图片附件: temp.jpg (2006-7-9 13:47, 103.39 KB) / 下载次数 3
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作者: toothy    时间: 2006-7-9 13:46

题目本身没有定义清楚，猫（鼠）怎样决定向左或向右追（游）
所以题目还缺乏一些条件，如果先假设：

1。猫和鼠都足够聪明，以致于他们能分别根据任意一时刻两者的位置，计算出下一步该向那个方向捕捉（逃生）。。
2。老鼠可以在无穷的时间内在水池中游动。
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 13:49

原帖由 toothy 于 2006-7-9 14:46 发表
题目本身没有定义清楚，猫（鼠）怎样决定向左或向右追（游）
所以题目还缺乏一些条件，如果先假设：

1。猫和鼠都足够聪明，以致于他们能分别根据任意一时刻两者的位置，计算出下一步该向那个方向捕捉（逃生） ...

对，这是隐含的假设
初始条件，老鼠在圆心，猫在任意位置，无所谓的
猫的假设是聪明，能够判断，但不能提前精确计算的 呵呵

[ 本帖最后由 keynes06062006 于 2006-7-9 14:51 编辑 ]
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 13:52

原帖由 toothy 于 2006-7-9 14:46 发表
题目本身没有定义清楚，猫（鼠）怎样决定向左或向右追（游）
所以题目还缺乏一些条件，如果先假设：

1。猫和鼠都足够聪明，以致于他们能分别根据任意一时刻两者的位置，计算出下一步该向那个方向捕捉（逃生）。。
2。老鼠可以在无穷的时间内在水池中游动。  

1。关于猫的运动方向，以他和老鼠的连线延长到圆弧的点和猫本身所在位置的点把圆分成两个弧，可以设定猫必定选择劣弧追击。如果开始阶段两个弧都是180度，那么随便选一条追就可以。事实上由于猫的速度很快，不会出现劣弧变成优弧优弧变成劣弧。
2。那是肯定的啦lol.gif
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 13:52

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 14:46 发表
我先用差分方程算了一下，解析法还没做。
从图上看，老鼠怎么也逃不了了。
我换了好几个初始条件，结果都是一样的。



初始条件都是默认在圆心？  如果不在圆心还是能逃的吧 另外别上来就跟猫的切线走啊 现象径向反方向走  知道猫的切线和径向反方向平行才开始切线吧 估计有难度 jjd 靠你了
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 13:53

别算了，兜圈圈，最后猫累死了，老鼠淹死了
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 13:54

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 14:52 发表



初始条件都是默认在圆心？  如果不在圆心还是能逃的吧 另外别上来就跟猫的切线走啊 现象径向反方向走  知道猫的切线和径向反方向平行才开始切线吧 估计有难度 jjd 靠你了


:have.gifsantasmilerose.gif
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 13:55

原帖由 sailorman 于 2006-7-9 14:53 发表
别算了，兜圈圈，最后猫累死了，老鼠淹死了


猫是机器猫，只要有电就OK，老鼠也是的，淹不死
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 14:00

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 14:52 发表



初始条件都是默认在圆心？  如果不在圆心还是能逃的吧 另外别上来就跟猫的切线走啊 现象径向反方向走  知道猫的切线和径向反方向平行才开始切线吧 估计有难度 jjd 靠你了

从头到尾我都没有考虑过切线的问题啊。我一直设定老鼠的屁股对着猫的位置。思路如下，也许有错误，仅供参考。

clear
clc
close all

R=50;

V_mouse=10;
V_cat=4*V_mouse;

Delta_t=0.1;
t=0:Delta_t:7;

% for cat
Phase_cat=V_cat*t/R;

S_cat=[R*cos(Phase_cat); R*sin(Phase_cat)];

% for mouse
k=1;
Phase_mouse=pi;
CosValue_start=1;
for k=1:length(t);
    if k==1
        S_mouse(1,k)=V_mouse*cos(Phase_mouse)*Delta_t;
        S_mouse(2,k)=V_mouse*sin(Phase_mouse)*Delta_t;
    else
        S_mouse(1,k)=S_mouse(1,k-1)+V_mouse*cos(Phase_mouse)*Delta_t;
        S_mouse(2,k)=S_mouse(2,k-1)+V_mouse*sin(Phase_mouse)*Delta_t;  
    end
%   Delta_Phase_mouse=atan((S_cat(2,k)-S_mouse(2,k))/((S_cat(1,k)-S_mouse(1,k)));
    Num=S_cat(2,k)-S_mouse(2,k);
    Den=S_cat(1,k)-S_mouse(1,k);
        
    CosValue=Den/sqrt(Den^2+Num^2);
    if CosValue_start<CosValue
        Delta_Phase_mouse=2*pi-acos(CosValue);
    else
        Delta_Phase_mouse=acos(CosValue);
    end
    Phase_mouse=pi+Delta_Phase_mouse;
    CosValue_start=CosValue;
end
Phase_circle=0:(2*pi/1000):2*pi;
Circle=[R*cos(Phase_circle); R*sin(Phase_circle)];

plot(Circle(1,:), Circle(2,:), 'g');
hold on
plot(S_cat(1,:), S_cat(2,:), 'b', S_mouse(1,:), S_mouse(2,:), 'r','LineWidth', 2)
legend('Circle','Cat','Mouse')
grid on
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 14:01

原帖由 keynes06062006 于 2006-7-9 14:55 发表


猫是机器猫，只要有电就OK，老鼠也是的，淹不死




呵呵，这块饭后甜点太甜，会腻死人的:P


猫是跑的是等圆，关键是老鼠是不是跑得也是等圆？
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 14:05

如果老鼠和猫的连线在直径上，但是老鼠不在圆心，那么老鼠满足某些条件的时候可以逃出去，譬如图中

图片附件: TEMP2.jpg (2006-7-9 14:05, 98.31 KB) / 下载次数 1
http://csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=208877&k=5bc424149ec9054a6b57ddbabc74daa6&t=1727441999&sid=n9oKU9

作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 14:06

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 15:00 发表

从头到尾我都没有考虑过切线的问题啊。我一直设定老鼠的屁股对着猫的位置。思路如下，也许有错误，仅供参考。

clear
clc
close all

R=50;

V_mouse=10;
V_cat=4*V_mouse;

Delta_t=0.1;
t=0:Delt ...


等俺考完试 在来搞 lol.gif 顺便和你学学matlab :D
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 14:08

如果猫和老鼠连线初始状态不在直径上，情况可能如下
满足某些情况下，老鼠可以逃出去。

图片附件: temp3.jpg (2006-7-9 14:08, 87 KB) / 下载次数 2
http://csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=208878&k=3e5dd1e660cc3be121c74dfb1dfaf636&t=1727441999&sid=n9oKU9

作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 14:10

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 15:08 发表
如果猫和老鼠连线初始状态不在直径上，情况可能如下
满足某些情况下，老鼠可以逃出去。

辛苦了
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 14:12

我觉得假设应该是老鼠距离猫最远的地方开始，也就是水池的中央，圆心。这样才可能只有一个答案。

不然假设就多了点。
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 14:16

原帖由 sailorman 于 2006-7-9 15:12 发表
我觉得假设应该是老鼠距离猫最远的地方开始，也就是水池的中央，圆心。这样才可能只有一个答案。

不然假设就多了点。


一个答案是存在通话和初等数学中

jjd这么高人 不做一个答案的题 哈哈哈
作者: sailorman    时间: 2006-7-9 14:19

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 15:16 发表


一个答案是存在通话和初等数学中

jjd这么高人 不做一个答案的题 哈哈哈




我只是想帮帮你们，快到晚饭时间了，猫也累了，老鼠也累了tongue.gif
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 14:19

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 15:16 发表


一个答案是存在通话和初等数学中

jjd这么高人 不做一个答案的题 哈哈哈

这个题目是有确定答案的，满足某些条件的时候能够逃出，就是老鼠初始情况偏离圆心的位置（x，y）都有影响。最后应该通过解析法做，刚才只是直观的迭代出来看看。
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 14:21

原帖由 zizidodoII 于 2006-7-9 15:16 发表


一个答案是存在通话和初等数学中

jjd这么高人 不做一个答案的题 哈哈哈

如果有多种答案，其中之一要是导致老鼠死亡，这种情况存在的话，是会发生的根据 墨菲定理
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 14:23

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 15:19 发表

这个题目是有确定答案的，满足某些条件的时候能够逃出，就是老鼠初始情况偏离圆心的位置（x，y）都有影响。最后应该通过解析法做，刚才只是直观的迭代出来看看。

Dog真是AACHEN高才生啊
这个题目是某运筹学老师出的题

[ 本帖最后由 keynes06062006 于 2006-7-9 15:26 编辑 ]
作者: neig_xp    时间: 2006-7-9 14:26

我觉得这个题要看猫是怎么想得了。如果猫只朝一个方向追（比如顺时针），那么老鼠肯定跑掉了，如果猫自动判断优弧劣弧然后从劣弧方向追，那么老鼠只用走s形就能跑掉，要是猫和老鼠都比我聪明，那我就不知道他们俩最后能怎么样了。。
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 14:31

原帖由 neig_xp 于 2006-7-9 15:26 发表
我觉得这个题要看猫是怎么想得了。如果猫只朝一个方向追（比如顺时针），那么老鼠肯定跑掉了，如果猫自动判断优弧劣弧然后从劣弧方向追，那么老鼠只用走s形就能跑掉，要是猫和老鼠都比我聪明，那我就不知道他们俩 ...

假设猫的速度远远大于老鼠的速度，老鼠一行动，猫马上就站在正对着老鼠的地方了，那么老鼠不可能跑掉。如果猫速度很慢，老鼠肯定能跑掉。所以之间一定有一个临界速度。能不能跑掉取决两个条件
1。老鼠和猫的相对位置
2。猫和老鼠的速度比值
作者: toothy    时间: 2006-7-9 14:36

想法1：

如果能有这样一个时刻，此时，老鼠位于圆内一点 P，P 到圆弧的最近线段为 PA，长度|PA|，而猫位于圆弧上一点Q，圆弧QA弧长为|QA|，并且：|QA|大于4倍的|PA|，那么，老鼠就1定能逃脱。
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 14:41

原帖由 toothy 于 2006-7-9 15:36 发表
想法1：

如果能有这样一个时刻，此时，老鼠位于圆内一点 P，P 到圆弧的最近线段为 PA，长度|PA|，而猫位于圆弧上一点Q，圆弧QA弧长为|QA|，并且：|QA|大于4倍的|PA|，那么，老鼠就1定能逃脱。

此题原来大有来头，是微软某年招聘中层管理的考题:han.gif
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 14:56

解析法太复杂，主要问题在于T时刻老鼠运动方向与法线的夹角的表达式。
看来只好先就这么用迭代计算看看了
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 15:10     标题: 别人的解法

参考下

图片附件: 200631620193663740.jpg (2006-7-9 15:10, 62.31 KB) / 下载次数 3
http://csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=208882&k=08ff5d45fbb6bbba4f108a2311c0ce6f&t=1727441999&sid=n9oKU9

作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 15:16

原来题目是这个意思——老鼠可以思考！
作者: 无能为力    时间: 2006-7-9 15:19

低估了老鼠。。。
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 15:43

明白意思了：

如果老鼠使用策略，最多也就是在半径为R/4的圆周上，出了这个圈猫的角速度就超过老鼠。
那么假设现在老鼠站在距离猫5R/4的直径上（通过和猫拉角速度总可以做到这点），反方向跑。有两种可能
一种是永远屁股对着猫，第二种是直接对着边跑直线。
第一钟情况下，不行，看附图。
第二种情况，
猫跑直线跑到对面那个点需要的时间是
pi*R/(4*V)
而老鼠需要的时间是3×R/(4*V)，pi=3.14>3，因此猫追不上老鼠。

图片附件: temp4.jpg (2006-7-9 15:43, 99.94 KB) / 下载次数 3
http://csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=208886&k=9cc177384c78e74a2a0ff02a3595bbc4&t=1727441999&sid=n9oKU9

作者: toothy    时间: 2006-7-9 16:05

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 16:43 发表
明白意思了：

如果老鼠使用策略，最多也就是在半径为R/4的圆周上，出了这个圈猫的角速度就超过老鼠。
那么假设现在老鼠站在距离猫5R/4的直径上（通过和猫拉角速度总可以做到这点），反方向跑。有两种可能
一 ...




老鼠只有在(4-PI)*R/4的圆上 并且与猫同处一条直径才能逃脱（这时候它直接以最近距离向岸边游就可以逃脱）

半径R/4的圆是个关键。在大于此半径的圆上，老鼠的角速度小于猫，老鼠无论怎样跑都不可能实现与猫同处一条直径。

因为 (4-PI)*R/4 > R/4

所以在前2个假设下，老鼠永远不能安全逃出。

[ 本帖最后由 toothy 于 2006-7-9 17:07 编辑 ]
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 16:13

猫跑直线跑到对面那个点需要的时间是：pi*R/(4*V)
而老鼠需要的时间是：3×R/(4*V)
pi*R/(4*V)>3×R/(4*V)
也就是说猫要跑到对面需要的时间大于老鼠到达岸边的时间啊……
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 16:15

答案是老鼠能跑掉的
作者: jiejiedog    时间: 2006-7-9 16:17

原帖由 keynes06062006 于 2006-7-9 17:15 发表
答案是老鼠能跑掉的

但是他耍诈了，只有人才那么聪明tired.gif
作者: keynes06062006    时间: 2006-7-9 16:18

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 17:17 发表

但是他耍诈了，只有人才那么聪明tired.gif

:han.gif
作者: 梁城玮    时间: 2006-7-9 16:22

可以跑掉

2*3.14/4〉1

所以跑得掉
作者: 梁城玮    时间: 2006-7-9 16:23

原帖由 jiejiedog 于 2006-7-9 17:13 发表
猫跑直线跑到对面那个点需要的时间是：pi*R/(4*V)
而老鼠需要的时间是：3×R/(4*V)
pi*R/(4*V)>3×R/(4*V)
也就是说猫要跑到对面需要的时间大于老鼠到达岸边的时间啊……


老鼠游到圆心还可以变方向，更可以跑掉啦
作者: zizidodoII    时间: 2006-7-9 16:34

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